Question

已知函数f（x）=lnx-m（x-

1

x

）（m为实常数）
（1）当m=

2

5

时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；
（2）若函数f（x）无极值点，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=

2

5

时，f（x）=lnx-

2

5

（x-

1

x

），求导数f′（x），利用导数符号求出函数的单调区间，根据单调性即可求得其最大值；
（2）求出函数的定义域（0，+∞），导数f′（x）=

-mx2+x-m

x2

，f（x）无极值点，则f（x）在定义域（0，+∞）上单调，即f′（x）≥0，或f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，分情况讨论，分离参数后转化为函数最值即可解决；

解答：解：（1）当m=

2

5

时，f（x）=lnx-

2

5

（x-

1

x

），
令f′（x）=

1

x

-

2

5

（1+

1

x2

）=-

(2x-1)(x-2)

5x2

=0，得x=2或x=

1

2

（舍去），
当x∈（1，2）时，f′（x）＞0；当x∈（2，e）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（1，2）上递增，在（2，e）上递减，
∴当x=2时，f（x）_max=f（2）=ln2-

3

5

；
（2）f（x）定义域（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-m （1+

1

x2

）=

-mx2+x-m

x2

，
由题意，f（x）无极值点，则f（x）在定义域（0，+∞）上单调，分如下情况讨论：
①若f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则-mx²+x-m≥0，即m≤

x

1+x2

在（0，+∞）上恒成立，
当x＞0时，

x

1+x2

=

1

1 x +x

∈（0，

1

2

]，∴m≤0；
②若f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，则-m²+x-m≤0，即m≥

x

1+x2

在（0，+∞）上恒成立，
当x＞0时，

x

1+x2

=

1

1 x +x

∈（0，

1

2

]，∴m≥

1

2

；
综①②，函数f（x）无极值点时，m的取值范围是（-∞，0]∪[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查基本不等式求最值，考查分类讨论思想，考查学生运用知识解决问题的能力．