Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点，
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角A-DF-B的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连结OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE，
∵OE平面BDE，平面BDE，
∴AM∥平面BDE。
（Ⅱ）∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，
∴BD⊥平面AE，
又因为AM平面AE，
∴BD⊥AM，
∴AD=，AF=1，OA=1，
∴AOMF是正方形，
∴AM⊥OF，
又AM⊥BD，且OF∩BD=O，
∴AM⊥平面BDF。
（Ⅲ）设AM∩OF=H，过H作HG⊥DF于G，连结AG，
由三垂线定理得AG⊥DF，
∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角，
，
∴，
∴∠AGH=60°，
∴二面角A-DF-B的大小为60°。