Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内（含正方体表面）任取一点M，则

AA1

•

AM

≥1的概率p=（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：本题是几何概型问题，欲求点M满足

AA1

•

AM

≥1的概率，先以A为原点建立空间直角坐标系，由数量积公式得出点M到平面ABCD的距离大于等于

1

2

，点M的轨迹是正方体的一部分，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可．

解答： 解：正方体的体积为V=8，
以A为原点建立空间直角坐标系，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴．
那么A（0，0，0），A₁（0，0，2）
设M（x，y，z），那么x，y，z∈[0，2]
∴

AM

=（x，y，z），

AA1

=（0，0，2）
则

AA1

•

AM

≥1，即2z≥1，z≥

1

2

．
即点M与平面ABCD的距离大于等于

1

2

，
点M的轨迹是正方体的

3

4

，
其体积为：V₁=

3

4

×8=6，
则

AA1

•

AM

≥1的概率p=

6

8

=

3

4

，
故选：A．

点评：本题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．