Question

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若数列{a_n}，{an2}都是等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若2Sn=an2+an，试比较

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

与1的大小．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由已知条件得到2a22=a12+a32，由此能求出d=0，从而得到a_n=1．
（Ⅱ）由2Sn=an2+an，得2Sn-1=an-12+an-1，二者相减能够推导出a_n=n，由此利用裂项相减法能比较

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

与1的大小．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}，{an2}都是等差数列，设数列{a_n}的公差为d，
∴2a22=a12+a32，∴2（a₁+d）²=a12+（a₁+2d）²，
∵a₁=1，∴2（1+d）²=1+（1+2d）²，
整理，得2d²=0，∴d=0，∴a_n=1．…5分
（Ⅱ）由于2Sn=an2+an①
当n≥2时，2Sn-1=an-12+an-1②
由①-②得：an+an-1=

a

2 n

-an-12，
又a_n＞0∴an-an-1=1 (n≥2，n∈N*)，…10分
又a₁=1，∴a_n=n；
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1．…13分．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查两个数的大小的比较，是中档题，解题时要注意等差数列的通项公式、裂项求和的合理运用．