Question

4．在平面直角坐标系中，点P在第四象限，且点P到点A（1，0）、B（a，4）及到直线x=-1的距离相等，如果这样的点P恰好只有一个，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 2或-2
• D． 1或-1

Answer 1

分析 由点P到点A（1，0）及到直线x=-1的距离相等，则点P的轨迹是抛物线：y²=4x，再设p点坐标为（m，-2$\sqrt{m}$），根据两点之间的距离公式，得到关于m的方程，再设t=$\sqrt{m}$＞0，根据方程解的问题讨论a的值的问题．

解答 解：由点P到点A（1，0）及到直线x=-1的距离相等，则点P的轨迹是抛物线：y²=4x，
∵点P在第四象限，设p点坐标为（m，-2$\sqrt{m}$），
由于点P到点A（1，0）、B（a，4）及到直线x=-1的距离都相等，
∴|PA|=|PB|，
∴m+1=$\sqrt{（m-a）^{2}+（-2\sqrt{m}-4）^{2}}$，
即16$\sqrt{m}$+2m-2am+a²+15=0，
设t=$\sqrt{m}$＞0，
则2（1-a）t²+16t+a²+15=0，
∵点P恰好只有一个，
∴方程的解只有一个，
当a=1时，16t+1+15=0，解得t=-1＜0，不合题意，
当a≠1时，△=16²-8（1-a）（a²+15）=0，解得a=-1，
故选：B．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质，以及点与点之间的距离公式，属于中档题．