Question

17．数列$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{16}$，…的前10项的和为（　　）

• A． $\frac{507}{256}$
• B． $\frac{507}{128}$
• C． $\frac{509}{128}$
• D． $\frac{509}{256}$

Answer 1

分析 求得通项公式，运用错位相减法，求得前n项的和，即可得到前10项的和．

解答 解：由题意可得数列的通项为$\frac{n}{{2}^{n}}$，
即有前n项和所以T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$①，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+$\frac{4}{{2}^{5}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$②，
①-②得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
则T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．
即有T₁₀=2-$\frac{12}{{2}^{10}}$=$\frac{509}{256}$．
故选：D．

点评 本题考查数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．