Question

3．已知锐角α，β满足：cosα=$\frac{1}{3}$，cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，则cos（α-β）=（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{23}{27}$

Answer 1

分析 由同角三角函数基本关系可得sinα和sin（α+β），由两角差的余弦公式可得cosβ的值，然后再由同角三角函数基本关系和两角差的余弦公式可得．

解答 解：∵α，β为锐角，∴0＜α+β＜π，
∵cosα=$\frac{1}{3}$，cos（α+β）=-$\frac{1}{3}$，
∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$-\frac{1}{3}×\frac{1}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{7}{9}$，
∴sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=$\frac{1}{3}×\frac{7}{9}+\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{23}{27}$．
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．