Question

（2011•浦东新区三模）设x₁、x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，若不等式|m-3|＞|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围为

（-∞，0）∪（6，+∞）

．

Answer 1

分析：要使|m-3|＞|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立，只须|m-3|＞|x₁-x₂|_max，利用二次方程的韦达定理求出|x₁-x₂|，将不等式恒成立转化为求函数的最值，从而求出实数m的范围．

解答：解：由题设x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

当a∈[-1，1]时，

a2+8

的最大值为3．
要使|m-3|＞|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立，只须|m-3|＞3，
即m＜0或m＞6．
故答案为（-∞，0）∪（6，+∞）

点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查韦达定理得运用，考查函数的最值，关键是利用最值法求解恒成立问题．