Question

某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．
（1）过点p的一条直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θ(0＜θ＜

π

2

)，将线段AB的长度l表示为θ的函数；
（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．

Answer 1

分析：（1）根据图可知l（θ）=BP+AP，而BP=

2

sinθ

，AP=

2

cosθ

代入整理可得函数．
（2）“长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊，铁棒能水平通过该直角直廊”，关键看函数l（θ）=的值域，先研究其单调性，用导数法，先求导，令l'（θ）=0得，θ=

π

4

，易知当0＜θ＜

π

4

时，l'（θ）＜0，l（θ）为减函数；当

π

4

＜θ＜

π

2

时，l'（θ）＞0，l（θ）为增函数，可知当θ=

π

4

时，l（θ）有最小值，再与5比较得到结论．

解答：解：（1）根据图得：l(θ)=BP+AP=

2

sinθ

+

2

cosθ

，θ∈(0，

π

2

)．
（2）铁棒能水平通过该直角直廊，
理由如下：l′(θ)=(

2

sinθ

)′+(

2

cosθ

)′
=

0•sinθ-2•cosθ

sin2θ

+

0•cosθ+2•sinθ

cos2θ

=

2(sin2θ-cos2θ)

sin2θcos2θ

．
令l'（θ）=0得，θ=

π

4

．
当0＜θ＜

π

4

时，l'（θ）＜0，l（θ）为减函数；
当

π

4

＜θ＜

π

2

时，l'（θ）＞0，l（θ）为增函数；
所以当θ=

π

4

时，l（θ）有最小值4

2

，
因为4

2

＞5，所以铁棒能水平通过该直角走廊．

点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，还考查了三角函数的定义，导数法求函数最值等．