Question

【题目】设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2， ∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，
∴圆心到直线l的距离d= = ，
∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d= = ，
整理得：m2+n2= ，
令直线l解析式中y=0，解得：x= ，
∴A（ ，0），即OA= ，
令x=0，解得：y= ，
∴B（0， ），即OB= ，
∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，
∴|mn|≤ ，
又△AOB为直角三角形，
∴S△ABC= OAOB= ≥ =3，当且仅当|m|2=|n|2= 时取等号，
则△AOB面积的最小值为3．
所以答案是：3．
【考点精析】关于本题考查的一般式方程，需要了解直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）才能得出正确答案．