Question

【题目】如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．

(1)求证：GH∥平面CDE；

(2)若CD＝2，DB＝4，求四棱锥F—ABCD的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）16

【解析】(1)证明　方法一　∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.

又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，

∴H为FC的中点．

又∵G是FD的中点，∴HG∥CD.

∵HG平面CDE，CD平面CDE，

∴GH∥平面CDE.

方法二　连接EA，∵ADEF是正方形，

∴G是AE的中点．

∴在△EAB中，GH∥AB.

又∵AB∥CD，∴GH∥CD.

∵HG平面CDE，CD平面CDE，

∴GH∥平面CDE.

(2)解　∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，

且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.

∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6.

又∵CD＝2，DB＝4，CD2＋DB2＝BC2，∴BD⊥CD.

∵SABCD＝CD·BD＝8，

∴VF—ABCD＝SABCD·FA＝×8×6＝16.