Question

【题目】设函数（为常数，是自然对数的底数）.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间为单调递增区间为.（2）

【解析】分析：（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）函数在内存在两个极值点，等价于它的导函数在内存内有两个不同的零点. 分三种情况讨论，分别利用导数研究函数的单调性，结合函数图，利用两点存在定理列不等式组，从而可得符合题意的的取值范围.

详解：（Ⅰ）的定义域为，

当时，，

令则

当时， 单调递减；

当 单调递增，

的单调递减区间为单调递增区间为.

(Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，函数在内单调递减，

故在内不存在极值点；

当，设函数.

，

当时，

当时，，单调递增，

故故在内不存在两个极值点；

当时，

得时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

函数的最小值为

函数在内存在两个极值点

当且仅当

解得：

综上所述，函数在内存在两个极值点时，的取值范围为.