Question

（1）当你手握直角三角板，其斜边保持不动，将其直角顶点提起一点，则直角在平面内的正投影是锐角、直角 还是钝角？

（2）根据第（1）题，你能猜想某个角在一个平面内的正投影一定大于这个角吗？如果正确，请证明；如果错误，则利用下列三角形举出反例：△ABC中，，

，以∠BAC为例。

Answer 1

（1）直角在平面内的正投影是钝角；

（2）原猜想错误。∠BAC在一个平面内的正投影∠BA₁C小于它本身。

解析:

（1）记Rt△ABC，∠BAC=90⁰，记直角顶点A在平面上的正投影为A_1??，，且AA₁=，则因为，所以∠BA₁C为钝角，即直角在平面内的正投影是钝角；

（2）原猜想错误。对于△ABC， ，记直角顶点A在平面上的正投影为A_1??，设AA₁=，则，令∠BAC=∠BA₁C，则由余弦定理得：

=，解之得：，即当点A离平面的距离是时，∠BAC在一个平面内的正投影∠BA₁C等于它本身；

若取，则，从而，

，可知∠B A₁C∠BAC，即∠BAC在一个平面内的正投影∠BA₁C小于它本身。