Question

设a，b，x∈N^*，a≤b，已知关于x的不等式lgb-lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大可能值时，

a+b

=（　　）

• A、

  21

• B、6
• C、

  17

• D、4

Answer 1

分析：由不等式lgb-lga＜lgx＜lgb+lga可得lg

b

a

＜lgx＜lg(ab)，利用对数函数的单调性可得

b

a

＜x＜ab，
由于a，b，x∈N^*，关于x的不等式lgb-lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，可得ab-

b

a

=51，化为ab=51+

b

a

．由于a≤b．可得ab≥51+1，再利用基本不等式即可得出．

解答：解：由不等式lgb-lga＜lgx＜lgb+lga可得lg

b

a

＜lgx＜lg(ab)，
∴

b

a

＜x＜ab，
∵a，b，x∈N^*，关于x的不等式lgb-lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，
∴52＞ab-

b

a

≥51，∵a，b，x∈N^*，a≤b．
∴

52a

a2-1

＞b≥

51a

a2-1

（a=1时不成立），∴

52a2

a2-1

＞ab≥

51a2

a2-1

．
令g（a）=

a2

a2-1

，∵a≥2，可知g（a）单调递减．
当a=2时，68≤ab＜68+

4

3

，取ab=68时，b=34．取ab=69，b不是整数，舍去．
因此ab的最大值为68．
∴当ab取最大可能值时，

a+b

=6．
故选：B．

点评：本题考查了集合的意义、基本不等式的性质，考查了推理能力，属于难题．