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    （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，在椭圆C上，A，B为椭圆C的左、右顶点．

    (1)求椭圆C的方程：

    (2)若P是椭圆上异于A，B的动点，连结AP，PB并延长，分别与右准线相交于M1，M2.问是否存在x轴上定点D，使得以M1M2为直径的圆恒过点D?若存在，求点D的坐标：若不存在，说明理由．

     

    【答案】

    （1）（2）存在或，使得以为直径的圆恒过点

    【解析】

    试题分析：（1）因为离心率为，在椭圆上.所以利用待定系数法求出长半轴的长和短半轴的长.从而写出椭圆的标准方程.本小题要求解方程组能力较强.虽然本小题属于较基础的题目，但是运算也是这道题难点，否则会影响到下一题的得分.

    （2）通过假设的坐标，写出直线.并求出它们与准线方程的交点坐标.如果存在则点是在以线段为直径的圆上，所以通过向量的垂直可得一个关于的等式.又因为符合椭圆的方程.所以可以求出结论.

    试题解析：（1）由得：，，        1分

    从而有：

    又在椭圆上，故有，解得

    所以，椭圆的方程为：.        4分

    （2）设，由（1）知：.

    则直线的方程为：，由得所以；

    同理得：. 6分

    假设存在点，使得以为直径的圆恒过点，即：.

    又在椭圆上，∴∴ .         10分

    代入上式得，解得或7.

    所以，存在或，使得以为直径的圆恒过点.         12分

    考点：1.待定系数求椭圆的方程.2.向量的数量积.3.知识的转化化归思想.

     

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    		5
    •
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