Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

a

与

b

之间有关系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k≥2）．
（1）用k表示

a

•

b

；
（2）求

a

•

b

的最小值，并求此时

a

•

b

的夹角的余弦值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算性质即可得出．
（2）利用导数可得函数f（k）的单调性，即可得出最小值，再利用数量积定义即可得出．

解答： 解：（1）|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，同理|

b

|=1．
∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k≥2）．
∴k2

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3(

a

2-2k

a

•

b

+k2

b

2)，
即k2+1+2k

a

•

b

=3(1+k2-2k

a

•

b

)，
解得

a

•

b

=

k2+1

4k

．
（2）当k≥2时，函数f(k)=

k2+1

4k

，
∴f′（k）=

k2-1

4k2

＞0，
∴f（k）在[2，+∞）上为增函数．
∴

a

•

b

的最小值为f(2)=

22+1

4•2

=

5

8

，
又∵

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos＜

a

，

b

＞，
∴

5

8

=1×1×cos＜

a

，

b

＞，
∴cos＜

a

，

b

＞=

5

8

，此时a与b的夹角余弦值为

5

8

．

点评：本题考查了利用导数可得函数的单调性极值与最值、数量积定义及其运算性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．