Question

【题目】将长为、宽为的矩形划分为个小正方形.一粒子不重复不遗漏连续地通过每个小正方形的一条对角线.这件事能否办到？若办不到，请说明理由；若能办到，请给出一种行走路线.

Answer 1

【答案】能

【解析】

能办到.

分两种情况说明：

（1）

若、中至少有一个是奇数，不妨设为奇数.如图，粒子从开始行走，至；；；；；.即给出时粒子的一种行走路线.若，则粒子可继续从出发，行至；；；；.又给出时粒子的一种行走路线.假设时粒子已有，时的一种行走路线，那么，当时，若为奇数，粒子在长为，宽为的矩形上的个小正方形的一种行走路线终止于处，再沿下述行走路线即可：；；；；；若为偶数，粒子在长为，宽为的矩形上的个小正方形的一种行走路线终止于，再沿下述行走路线即可：；；；；.至此，已给出时粒子的一种行走路线.

由数学归纳法原理，当时，均可设计出粒子的一种行走路线.

（2）

若、都是偶数，如图，粒子从开始行走至，然后在线段上方长为、宽为的矩形的个小正方形中行走.由（1）可知粒子有一种行走路线，终止于.此粒子再沿以下路线行走即可：；；；；；；.