Question

16、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，PD=DC，E，F分别是PA，PC的中点；
（1）求证：PC∥平面EBD；
（2）求证：平面DEF⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）欲证PC∥平面EBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面EBD内一直线平行，根据三角形的中位线可知PC∥EO，满足定理条件；
（2）欲证平面DEF⊥平面PBC，根据面面垂直的判定定理可知在平面DEF内一直线与平面PBC垂直，而DF⊥PC，BC⊥DF，PC∩BC=C，满足线面垂直的判定定理，则DF⊥面PBC，即可证得平面DEF⊥平面PBC．

解答：解：（1）设AC与BD的交点为O，
根据三角形的中位线可知PC∥EO
EO?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD；

（2）∵PD=DC，F分别是PC的中点
∴DF⊥PC
∵BC⊥面PDC，DF?面PDC
∴BC⊥DF而PC∩BC=C
∴DF⊥面PBC而DF?平面DEF
∴平面DEF⊥平面PBC．

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．