Question

已知A，B是椭圆C：2x²+3y²=9上两点，点M的坐标为（1，0）．
（Ⅰ）当A，B两点关于x轴对称，且△MAB为等边三角形时，求AB的长；
（Ⅱ）当A，B两点不关于x轴对称时，证明：△MAB不可能为等边三角形．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用A，B两点关于x轴对称，且△MAB为等边三角形时，求出A的坐标，即可求AB的长；
（Ⅱ）求出MA，MB，证明|MA|≠|MB|，即可证明：△MAB不可能为等边三角形．

解答： （Ⅰ）解：设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），---------------------------------------（1分）
因为△ABM为等边三角形，所以|y0|=

3

3

|x0-1|．---------------------------------（2分）
又点A（x₀，y₀）在椭圆上，
所以 

|y0|= 3 3 |x0-1| 2x02+3y02=9

消去y₀，-----------------------------------------（3分）
得到 3x02-2x0-8=0，解得x₀=2或x0=-

4

3

，----------------------------------（4分）
当x₀=2时，|AB|=

2 3

3

；
当x0=-

4

3

时，|AB|=

14 3

9

．-----------------------------------------（5分）
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），则2x12+3y12=9，且x₁∈[-3，3]，
所以 |MA|=

(x1-1)2+y12

=

(x1-1)2+3- 2 3 x12

=

1 3 (x1-3)2+1

，----------（8分）
设B（x₂，y₂），同理可得|MB|=

1 3 (x2-3)2+1

，且x₂∈[-3，3]-----------（9分）
因为y=

1

3

(x-3)2+1在[-3，3]上单调
所以，有x₁=x₂?|MA|=|MB|，------------------------（11分）
因为A，B不关于x轴对称，所以x₁≠x₂．
所以|MA|≠|MB|，--------------------（13分）
所以△ABM不可能为等边三角形．---------------------（14分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查两点间距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．