Question

已知函数g（x）=2aln（x+1）+x²-2x
（1）当a＞0时，讨论函数g（x）的单调性；
（2）当a=0时，在函数g（x）图象上取不同两点A、B，设线段AB的中点为P（x₀，y₀），试探究函数g（x）在Q（x₀，g（x₀））点处的切线与直线AB的位置关系？
（3）试判断当a≠0时g（x）图象是否存在不同的两点A、B具有（2）问中所得出的结论．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数g（x）的单调性；
（2）证明函数Q点处的切线斜率与直线AB斜率相等即可；
（3）若g（x）满足（2）中结论，有g′（x₀）=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，设

1+x1

1+x2

=t，则*式整理得lnt=

2(t-1)

t+1

，问题转化成该方程在（0，1）上是否有解，从而得解．

解答： 解：（1）由题知g′（x）=

2(x2-1+a)

x+1

，
当a-1≥0即a≥1时，g′（x）≥0，函数g（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1，g′（x）=0，解得x=±

1-a

，函数g（x）在（-1，-

1-a

）和（

1-a

，+∞）上单调递增；在（-

1-a

，

1-a

）上单调递减；                …..（4分）
（2）g（x）=x²-2x，g′（x）=2x-2，g′（x₀）=2x₀-2，
∴k_AB=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

=2x₀-2，
∴函数Q点处的切线与直线AB平行；         …．（7分）
（3）设A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂）），（-1＜x₁＜x₂），若g（x）满足（2）中结论，有g′（x₀）=

g(x1)-g(x2)

x1-x2

，
即ln

1+x1

1+x2

=

2(x1-x2)

2+x1+x2

*…．（9分）
设

1+x1

1+x2

=t，则*式整理得lnt=

2(t-1)

t+1

，问题转化成该方程在（0，1）上是否有解；…（11分）
设函数h（t）=lnt-

2(t-1)

t+1

，则h′（t）=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0，
∴函数h（t）在（0，1）单调递增，即h（t）＜h（1）=0，
即方程lnt=

2(t-1)

t+1

在（0，1）上无解，
即函数g（x）不满足（2）中结论；                                        …..（14分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的 能力，属于难题．