Question

某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X（单位：盒，100≤X≤200）表示这个丌学季内的市场需求量，Y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．
（Ⅰ）根据直方图估计这个丌学季内市场需求量X的平均数和众数；
（Ⅱ）将Y表示为X的函数；
（Ⅲ）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,众数、中位数、平均数

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量X的众数和平均数．
（Ⅱ）由已知条件推导出当100≤x≤160时，y=50x-（160-x）•30=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，由此能将Y表示为X的函数．
（Ⅲ）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．

解答： 解：（Ⅰ）由频率直方图得到：
需求量为110的频率=0.005×20=0.1，
需求量为130的频率=0.01×20=0.2，
需求量为150的频率=0.015×20=0.3，
需求量为170的频率=0.0125×20=0.25，
需求量为190的频率=0.0075×20=0.15，
∴这个丌学季内市场需求量X的众数是150，
这个丌学季内市场需求量X的平均数：

.

x

=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．
（Ⅱ）∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，
∴当100≤x≤160时，
y=50x-（160-x）•30=80x-4800，
当160＜x≤200时，
y=160×50=8000，
∴y=

80x-4800，100≤x≤160 8000，160＜x≤200

．
（Ⅲ）∵利润不少于4800元，
∴80x-4800≥4800，解得x≥120，
∴由（Ⅰ）知利润不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．

点评：本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．