Question

若对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，则f（x）（　　）

A．恒大于0

B．恒小于0

C．恒等于0

D．和0的大小关系不确定

Answer 1

分析：根据题目给出的条件2f（x）+xf′（x）＞0，想到构造函数g（x）=x²f（x），求导后分析该函数的单调性，从而能判出函数的极小值点，进一步得到函数g（x）恒大于0，则有f（x）恒大于0．

解答：解：令g（x）=x²f（x），
则g^′（x）=2xf（x）+x²f^′（x）
=x（2f（x）+xf^′（x）），
因为2f（x）+xf′（x）＞0，
所以，当x＞0时，g^′（x）＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数．
当x＜0时，g^′（x）＜0，所以函数g（x）在（-∞，0）上为减函数．
所以，当x=0时函数g（x）有极小值，也就是最小值为g（0）=0．
所以g（x）=x²f（x）恒大于等于0，
当x≠0时，由x²f（x）恒大于0，可得f（x）恒大于0．
又对可导函数f（x），恒有2f（x）+xf′（x）＞0，
取x=0时，有2f（0）+0×f^′（0）＞0，所以f（0）＞0．
综上有f（x）恒大于0．
故选A．

点评：本题考查了构造函数法，考查利用函数的导函数判断函数的单调性，解答的关键是合理构造出函数，属于基础题．