Question

若对可导函数f（x），g（x），当x∈[0，1]时恒有f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），若已知α，β 是一锐角三角形的两个内角，且α≠β，记F′（x）=

f(x)

g(x)

(g(x)≠0)，则下列不等式正确的是（　　）

• A、F（sinα）＜F（cosβ）
• B、F（sinα）＜F（sinβ）
• C、F（cosα）＞F（cosβ）
• D、F（cosα）＜F（cosβ）

Answer 1

分析：由“f′（x）g（x）小于f（x）．g′（x）”想到用导数来判断函数的单调性，再用单调性定义来确定选项．

解答：解：∵记 F(x)=

f(x)

g(x)

(g(x)≠0)
∴F′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g(x)2

＜0
∴F（x）在[0，1]上是减函数
∵α，β是一锐角三角形的两个内角
∴0＜

π

2

-β＜α＜

π

2

∴sin(

π

2

-β)＜sinα
∴cosβ＜sinα
∴F（sinα）＜F（cosβ）
故选A．

点评：本题主要考查函数单调性的判断及其应用，判断时可用定义也可用导数，要灵活选择．