Question

若函数f（x）=

1

2

x+sin x-

3

2

在区间[0，π]上的最大值和最小值分别为M和m，则M-m的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：本题可利用导函数值的正负确定原函数的单调性，根据函数的单调性从而知道函数的最值，求出最大值和最小值，得到M-m的值，即得到本题的解．

解答： 解：∵函数f（x）=

1

2

x+sin x-

3

2

，
∴f′(x)=

1

2

+cosx．
∵x∈[0，π]，
∴当f′（x）＞0时，cosx＞-

1

2

，0＜x＜

2

3

π，f（x）单调递增；
当f′（x）＜0时，cosx＜-

1

2

，

2

3

π＜x＜π，f（x）单调递减；
当f′（x）=0时，cosx=-

1

2

，x=

2

3

π，f（x）有极大值．
∵M=f（

2

3

π）=

π

3

+

3

2

-

3

2

=

1

2

，
f（0）=-

3

2

，f（π）=

π

2

-

3

2

，
∴m=-

3

2

，
∴M-m=

1

2

+

3

2

．
故答案为：

1

2

+

3

2

．

点评：本题考查的是函数的单调性和最值，本题难度不大，属于基础题．