Question

【题目】已知函数f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|.

(1)当m＝－1时，求不等式f(x)≤2的解集；

(2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含，求m的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】

（1）零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.

（2）由题意可知f(x)≤|2x＋1|在上恒成立，可去掉绝对值|x＋m|≤2，解绝对值不等式，结合不等式的解集即可求解.

(1)当m＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|，

当x≥1时，f(x)＝3x－2≤2，所以1≤x≤；

当<x<1时，f(x)＝x≤2，所以<x<1；

当x≤时，f(x)＝2－3x≤2，所以0≤x≤，

综上可得原不等式f(x)≤2的解集为.

(2)由题意可知f(x)≤|2x＋1|在上恒成立，

当x∈时，f(x)＝|x＋m|＋|2x－1|＝|x＋m|＋2x－1≤|2x＋1|＝2x＋1，所以|x＋m|≤2，

即－2≤x＋m≤2，则－2－x≤m≤2－x，且(－2－x)max＝－，(2－x)min＝0，

因此m的取值范围为.