Question

【题目】已知函数f（x）＝lnx﹣ex﹣2，x＞0.

（1）求函数y＝f（x）的图象在点x＝2处的切线方程；

（2）求证：f（x）＜0.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）求出，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程.

（2）（方法一）作函数，求出，判断函数的单调性，构造函数，，求出函数的最小值，然后推出结果.

（方法二）在定义域区间（0，+∞）单调递减，求解函数的极大值，导函数的零点，然后转化求解即可.

（1），，

f（2）＝ln2﹣1，，

所求切线方程为，即，

（2）（方法一）作函数，

（其他适宜函数如、也可），

g′（e）＝0；当0＜x＜e时，g′（x）＞0；当x＞e时，g′（x）＜0，

所以g（x）≤g（e）＝0，即，等号当且仅当x＝e时成立.

作函数，，

h′（1）＝0；当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，

所以h（x）≥h（1）＝0，即，等号当且仅当x＝1时成立.

因为e≠1，综上所述，x＞0，lnx＜ex﹣2，即f（x）＜0.

（方法二）在定义域区间（0，+∞）单调递减，

，所以，f′（x）有唯一零点x0，且x0是极大值点，

，由得，，lnx0＝2﹣x0，

代入得，，

因为1＜x0＜2，所以，f（x）≤f（x0）＜0.