Question

【题目】如图，在四棱锥中，面，，且，，为的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）在直角梯形中，由条件可得，即．再由面，得，利用线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面；

（2）由（1）知，，则为二面角的平面角为，求得．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标及平面的一个法向量，由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值．

（1）证明：在直角梯形中，由已知可得，，

可得，

过作，垂足为，则，求得，

则，∴．

∵面，

∴，

又，∴平面，

∵平面，

∴平面平面；

（2）解：由（1）知，，则为二面角的平面角为，

则．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

．

设平面的一个法向量为，

由，取，得．

∴直线与平面所成角的正弦值为：

．