Question

11．圆x²+y²+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 9
• C． 16
• D． 18

Answer 1

分析 圆x²+y²+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=$\frac{1}{2}$，代入$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$，利用基本不等式，确定最小值，推出选项．

解答 解：由圆的对称性可得，
直线ax-2by+1=0必过圆心（-2，1），
所以a+b=$\frac{1}{2}$．
所以$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=2（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）（a+b）=2（5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$）≥2（5+4）=18，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$，即2a=b时取等号，
故选D．

点评 本题考查关于点、直线对称的圆的方程，基本不等式，考查计算能力，是基础题．