Question

20．若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）解不等式：f（x-1）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在等式中令x=y≠0，则f（1）=0，问题得以解决，
（Ⅱ）由f（1）=0和f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，得到关于x的不等式组解得即可．

解答 解：（Ⅰ）在等式中令x=y＞0，则f（1）=0，
（Ⅱ）∵f（1）=0，
∴f（x-1）＜0?f（x-1）＜f（1）
又f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x-1＜1}\\{x-1＞0}\end{array}}\right.$
∴1＜x＜2，
则原不等式的解集为（1，2）．

点评 本题考查抽象函数的问题，关键是赋值，以及函数的单调性，属于基础题．