Question

设函数f（x）=x²+px+q（p，q∈R）．
（Ⅰ）若p=2，当x∈[-4，-2]时，f（x）≥0恒成立，求q的取值范围；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，试求所有的实数对（p，q）．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）p=2带入函数f（x）=x²+2x+q，所以根据已知条件得x²+2x+q≥0在[-4，-2]上恒成立，即q≥-x²-2x恒成立，所以求函数-x²-2x在[-4，-2]上的最大值，q大于等于该最大值即可；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则首先需满足

|f(1)|≤2 |f(5)|≤2

，即

-2≤1+p+q≤2 -2≤25+5p+q≤2

（1），通过该不等式可求出p的范围，从而确定出函数f（x）的对称轴x=-

p

2

在区间[1，5]上，所以p，q还需满足f(-

p

2

)≥-2，结合不等式组（1）可求出p的范围，从而求出p=-6，并带入前面不等式可得到q=7，所以得到满足条件的实数对（p，q）只一对（-6，7）．

解答： 解：（Ⅰ）p=2时，f（x）=x²+2x+q；
∴x∈[-4，-2]时，x²+2x+q≥0恒成立，即q≥-x²-2x恒成立；
函数-x²-2x的对称轴是x=-1，∴该函数在[-4，-2]上单调递增；
∴x=-2时，-x²-2x取最大值0；
∴q≥0；
∴q的取值范围为[0，+∞）；
（Ⅱ）若不等式|f（x）|＞2在区间[1，5]上无解，则必须满足：

-2≤f(1)≤2 -2≤f(5)≤2

，即

-2≤1+p+q≤2 -2≤25+5p+q≤2

       （1）；
∴

-2≤-1-p-q≤2 ① -2≤25+5p+q≤2 ②

；
①+②得：-7≤p≤-5，

5

2

≤-

p

2

≤

7

2

；
∴函数f（x）的对称轴在区间[1，5]上；
∴p，q还需满足f（-

p

2

）≥-2，即

4q-p2

4

≥-2，即q≥

p2

4

-2；
∴该不等式结合（1）可得到p，q需满足的不等式组为：

-2≤1+p+q≤2 -2≤25+5p+q≤2 q≥ p2 4 -2

；
解该不等式组可得p=-6，带入不等式组得q=7；
∴满足条件的实数对（p，q）只有一对（-6，7）．

点评：考查二次函数的单调性及根据单调性求函数最值，要求对二次函数的图象比较熟悉，并且可结合二次函数f（x）及函数|f（x）|的图象找限制p，q的不等式．