Question

已知以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点的椭圆与直线x+

3

y+4=0有且仅有一个交点，求椭圆的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．与直线方程联立化为(a2+3b2)y2+8

3

b2y+16b²-a²b²=0，
由于椭圆与直线x+

3

y+4=0有且仅有一个交点，可得△=0，又a²=b²+4，联立解得即可．

解答： 解：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）．
联立

x+ 3 y+4=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，化为(a2+3b2)y2+8

3

b2y+16b²-a²b²=0，
∵椭圆与直线x+

3

y+4=0有且仅有一个交点，
∴△=0，化为a²+3b²=16，
又a²=b²+4，联立

a2=b2+4 a2+3b2=16

，解得

a2=7 b2=3

．
∴椭圆的标准方程为：

x2

7

+

y2

3

=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了直线与椭圆相切问题转化为方程联立可得△=0，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．