Question

2．已知数列{$\frac{1}{{na}_{n}}$}是等差数列，a₁=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{15}$，则数列{a_n}的前6项之和是$\frac{69}{112}$．

Answer 1

分析 由题意求出a_n，然后利用裂项相消法求数列{a_n}的前6项之和．

解答 解：∵数列{$\frac{1}{{na}_{n}}$}是等差数列，且a₁=$\frac{1}{3}$，a₃=$\frac{1}{15}$，
∴2d=$\frac{1}{3{a}_{3}}-\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{1}{3×\frac{1}{15}}-\frac{1}{\frac{1}{3}}=5-3=2$，则d=1．
∴$\frac{1}{n{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{1}}+（n-1）×1=3+n-1=n+2$．
则${a}_{n}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{a_n}的前6项之和是$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}）$=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}）=\frac{69}{112}$．
故答案为：$\frac{69}{112}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．