Question

10．已知在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，三边a、b、c依次成等差数列．
（1）求证：$\frac{b}{c}$=$\frac{2}{3}$（2-cosA）；
（2）若A=$\frac{2π}{3}$，求a：b：c．

Answer 1

分析 （1）由a、b、c依次成等差数列得到2b=a+c，利用余弦定理把等式右边化为仅含有边的代数式，然后利用分析法证明等式；
（2）把A=$\frac{2π}{3}$代入$\frac{b}{c}$=$\frac{2}{3}$（2-cosA），整理得到$\frac{b}{c}=\frac{5}{3}$，结合2b=a+c得到$\frac{a}{b}=\frac{7}{5}$，进一步求得a：b：c．

解答 （1）证明：∵a、b、c依次成等差数列，∴2b=a+c，
∵$\frac{2}{3}$（2-cosA）=$\frac{2}{3}（2-\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}）$=$\frac{2}{3}•\frac{4bc-{b}^{2}-{c}^{2}+{a}^{2}}{2bc}=\frac{4bc-{b}^{2}-{c}^{2}+{a}^{2}}{3bc}$．
∴要证$\frac{b}{c}$=$\frac{2}{3}$（2-cosA），只要证$\frac{b}{c}=\frac{4bc-{b}^{2}-{c}^{2}+{a}^{2}}{3bc}$，
即证3b²=4bc-b²-c²+a²，也就是证：4bc-4b²-c²+a²=0．
∵2b=a+c，∴4bc-4b²-c²+a²=（2a+2c）c-（a+c）²-c²-a²=2ac+2c²-a²-2ac-2c²+a²=0．
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{2}{3}$（2-cosA）；
（2）∵A=$\frac{2π}{3}$，且$\frac{b}{c}$=$\frac{2}{3}$（2-cosA），
∴$\frac{b}{c}=\frac{2}{3}（2-cos\frac{2π}{3}）=\frac{2}{3}（2+\frac{1}{2}）=\frac{5}{3}$，
又2b=a+c，∴$2b=a+\frac{3}{5}b$，即$\frac{7}{5}b=a$，$\frac{a}{b}=\frac{7}{5}$．
∴a：b：c=7：5：3．

点评 本题考查等差数列的性质，考查了余弦定理在解三角形中的应用，训练了利用分析法证明等式，是中档题．