Question

20．如图所示，已知过一点P（1，-1）作抛物线y=x²的两条切线，切点分别为A、B；过点P的直线l与抛物线y=x²和线段AB分别相交于两点C、D和点Q．
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）试问：线段PC、PQ、PD的长度的倒数是否构成等差数列？请加以证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出切点A，B的坐标，对抛物线方程求导，求得切线方程的斜率，则直线方程可得，把点P（1，-1）代入直线方程联立求得AB的直线方程；
（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入直线AB的方程和抛物线方程，运用韦达定理，结合参数的几何意义和等差数列的中项，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）设切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又y'=2x，
则切线PA的方程为：y-y₁=2x₁（x-x₁），即y=2x₁x-y₁，
切线PB的方程为：y-y₂=2x₂（x-x₂）即y=2x₂x-y₂，
由P（1，-1）是PA、PB交点可知：-1=2x₁-y₁，-1=2x₂-y₂，
∴过A、B的直线方程为y=2x+1；
（Ⅱ）设过P的直线方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入直线y=2x+1可得，|PQ|=t=$\frac{4}{sinα-2cosα}$，
代入抛物线方程，可得t²cos²α+（2cosα-sinα）t+2=0，
即有判别式△=（2cosα-sinα）²-8cos²α＞0，
且t₁+t₂=$\frac{sinα-2cosα}{co{s}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{2}{co{s}^{2}α}$，
由$\frac{1}{{t}_{1}}$+$\frac{1}{{t}_{2}}$=$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{sinα-2cosα}{2}$，
$\frac{2}{|PQ|}$=$\frac{1}{|PC|}$+$\frac{1}{|PD|}$．
则线段PC、PQ、PD的长度的倒数构成等差数列．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的综合问题．考查了学生分析问题和基本的运算能力．属于中档题．