Question

18．定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
（1）判定函数f（x）在[-1，1]的单调性并加以证明；
（2）若$\frac{1}{2}$f（x）≤m²+2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式转化f（x）_min≤t²-2at-1成立，构造函数g（a）即可得到结论．

解答 解：∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
即a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有$\frac{f（a）-f（-b）}{a-（-b）}$＞0．
设x₁=a，x₂=-b，则当x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0时，有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
若x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，此时f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），此时为增函数，
若x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，此时f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），此时为增函数，
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵函数f（x）在[-1，1]上单调递增，f（1）=2，
∴f（x）的最小值为f（-1）=-f（1）=-2，最大值为f（1）=2，
若$\frac{1}{2}$f（x）≤m²+2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即m²+2am+1≥$\frac{1}{2}×2$=1对所有a∈[-1，1]恒成立，
∴m²+2am≥0对所有a∈[-1，1]恒成立，
设g（a）=m²+2am=2ma+m²，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{g（1）={m}^{2}+2m≥0}\\{g（-1）={m}^{2}-2m≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥0或m≤-2}\\{m≥2或m≤0}\end{array}\right.$，
∴m≥2或m≤-2或m=0．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．