Question

已知函数f(x)=|x-a|+

4

x

(a∈R)．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）当方程f（x）=2恰有两个实数根时，求a的值；
（3）若对于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a=0时，即解不等式f(x)=|x|+

4

x

≥0，对绝对值内进行分类讨论；
（2）令y1=|x-a|，y2=2-

4

x

，由函数图象知两函数图象的交点情况：当a≥2时，有两个交点；
（3）恒成立问题的解决方法，先对绝对值内进行讨论，后分离出参数a，转化为一个函数的值域问题解决．

解答：解：（1）由a=0得f(x)=|x|+

4

x

当x＞0时，f(x)=x+

4

x

≥0恒成立
∴x＞0
当x＜0时，f(x)=-x+

4

x

≥0得x≥2或x≤-2又x＜0
∴x≤-2
所以不等式f（x）≥0的解集为（-∞，-2]∪（0，+∞）（4分）

（2）由f（x）=2得|x-a|=2-

4

x

，令y1=|x-a|，y2=2-

4

x

由函数图象知两函数图象在y轴右边只有一个交点时满足题意
由图知，此时a=2
由图知a=2时方程f（x）=2恰有两个实数根（8分）
又两曲线的交点可能都在双曲线的左支上，此时必有a＜0
又y1=|x-a|=

x-a，x＞a a-x，x＜a

，由函数的图象知，x＜a时，两曲线必有一个交点，故只需要x＞a时有一个交点即可满足题意
x＞a时，有x-a=2-

4

x

在x＜0时有根，即a+2=x+

4

x

在x＜0时成立，由基本不等式知，x＜0时x+

4

x

≤-4，等号当且仅当x=-2时取到，此时有a≤-6，满足x＞a，故可得a≤-6
故当方程f（x）=2恰有两个实数根时，a=2或a≤-6
（3）|x-a|+

4

x

≥1(x＞0)，
当a≤0时，x-a+

4

x

≥1(x＞0)，x+

4

x

-1≥a(x＞0)，可得a≤3，所以a≤0符合题意，
当a＞0时f(x)=

x+ 4 x -a，x≥a a-x+ 4 x ，0＜x＜a

①当x≥a时，x+

4

x

-a≥1，即a≤x+

4

x

-1，(x＞0)，
设g（x）=x+

4

x

-1
令0＜a≤2时，a≤g（2）=3，所以0＜a≤2
a＞2时，a≤g(a)=a+

4

a

-1，所以a≤3，即2＜a≤3，所以0＜a≤3
②当0＜x＜a时，-x+

4

x

+a≥1，即a≥x-

4

x

+1(x＞0)，所以a≥a-

4

a

+1，a≤4，
综上，a的取值范围是（-∞，4]（16分）

点评：对于含有绝对值的题目，本身就是分类的，问题的提出已包含了分类的原因．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，在高考试题中占有重要的位置．