Question

若函数f(x)=

1

3

x3-kx2+(2k-1)x+5在区间（2，3）上是减函数，则k的取值范围是

k≥2

．

Answer 1

分析：先由函数求导，再由“函数f（x）在区间（2，3）内是减函数”转化为“f'（x）=x²-2kx+2k-1≤0在（2，3）恒成立”，进一步转化为最值问题：2k≥x+1在（2，3）恒成立，求得函数x+1的最大值即可．

解答：解：f(x)=

1

3

x3-kx2+(2k-1)x+5求导：f'（x）=x²-2kx+2k-1，
f'（x）=x²-2kx+2k-1≤0在（2，3）恒成立．
即2k（x-1）≥（x-1）（x+1）在（2，3）恒成立．
即2k≥x+1在（2，3）恒成立．
所以2k≥4，⇒k≥2，k的取值范围是[2，+∞）．
故答案为：k≥2．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，求解本题的关键是正确求出函数的导数，关键是把函数是减函数的性质转化为函数恒成立的问题，转化思想在高中数学在应用很广泛．