Question

（2012•西区一模）已知函数f（x）=ax³+bx+4a，a，b∈R，当x=2，f（x）有极值-

4

3

（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f′（2）=0，f（2）=-

4

3

，由此列方程组可解得a，b，从而可得f（x）解析式；
（2）由（1）所求解析式可得f′（x），利用导数可得f（x）的单调区间及极值，根据f（x）的图象的大致形状即可求得k的范围；

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+b，
依题意得

f′(2)=12a+b=0 f(2)=8a+2b+4=- 4 3

，解得

a= 1 3 b=-4

，
所以所求解析式为f（x）=

1

3

x3-4x+

4

3

．
（2）由（1）可得f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，得x=±2，
当x＜-2或x＞2时f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0；
所以当x=-2时f（x）取得极大值，f（-2）=

20

3

，当x=2时f（x）取得极小值，f（2）=-4，
要使方程f（x）=k有3个解，只需-4＜k＜

20

3

．
故实数k的取值范围为：-4＜k＜

20

3

．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及根的个数判断，考查数形结合思想，属中档题．