Question

【题目】已知四棱锥，底面为矩形，，，，为中点，．

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)方法一:由推出,结合可推出,又,所以平面,进而得证;方法二:由推出,从而有,结合可推出,又,所以平面,进而得证;

(2)由勾股定理逆定理推出,结合可得平面,故以为原点,方向为轴正方向建立空间直角坐标系,再利用向量法求出二面角的余弦值.

(1)方法一:

因为,,为中点,

所以在中,,

在中,,

所以,所以,

又因为,

所以,所以,

又因为,,

所以平面,

又平面,所以平面平面.

方法二:

由题意可知:在中,,

在中,,即,

所以,

所以,

又因为,

所以,所以,

又因为,,

所以平面,

又平面,所以平面平面.

(2)因为,又,,

所以,所以,

又因为,且与相交,

所以平面,

故以为原点,方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,,,

所以,,,

设平面的一个法向量为,

由可得,

令,则,所以,

设平面的一个法向量为,

由可得,

令,则,所以,

所以,

由题意可知二面角为锐二面角,

所以二面角的余弦值为.