【题目】如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
，
与
都是等边三角形.
（1）证明：平面
平面；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）取
的中点为
，连接
，根据
与
都是等边三角形且有公共边
，又
，得到
，再由
，得到
，利用线面垂直的判定定理得到
平面
，再利用面面垂直的判定定理证明.
（2）由（1）知，
两两垂直，以为原点，取
分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面
和平面
一个法向量，由二面角的向量公式求解.
（1）如图所示：
设的中点为，连接，
因为与都是等边三角形且有公共边，又，
所以
，所以.
在等腰直角三角形中，易知
，
又
，所以
，
所以，所以.
又
，
平面，
所以平面.
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，取分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
.
设平面一个法向量为
，
又
，
，
所以
，取
，得
.
设平面的一个法向量为
，
又
，，
所以
，取
，得
.
所以
.
设二面角
的大小为
，
所以
.
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【题目】如图．正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线OX，OY，OZ上，则在下列命题中，错误的为（ ）
A.O﹣ABC是正三棱锥B.二面角D﹣OB﹣A的平面角为
C.直线AD与直线OB所成角为
D.直线OD⊥平面ABC
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【题目】已知椭圆
的一个焦点坐标为
，一条斜率为
的直线分别交
轴于点
，交椭圆于点
，且点三等分
．
（1）求该椭圆的方程；
（2）若
是第一象限内椭圆上的点，其横坐标为2，过点的两条不同的直线分别交椭圆于点
，且直线
的斜率之积
，求证：直线
恒过定点，并求出定点的坐标．
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【题目】已知数列
的前
项和
满足
（
，
为常数，
，且
），
，
，若存在正整数，使得
成立；数列
是首项为2，公差为
的等差数列，
为其前项和，则以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图所示，椭圆
的离心率为
，过点
作直线
交椭圆于不同两点
，
．
（1）求椭园的方程；
（2）①设直线的斜率为
，求出与直线平行且与椭圆相切的直线方程（用表示）；
②若
，
为椭圆上的动点，求四边形
面积的最大值．
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【题目】已知数列
满足
．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，数列
的前
项和为
，求；
（3）设
，问：是否存在非零整数
，使数列
为递增数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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【题目】回文数指从左向右读与从右向左读都一样的正整数，如22，343，1221，94249等.显然两位回文数有9个，即11，22，33，99；三位回文数有90个，即101，121，131，…，191，202，…，999.则四位回文数有______个，
位回文数有______个.
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【题目】已知过点
的曲线
的方程为
．
（Ⅰ）求曲线的标准方程:
（Ⅱ）已知点
，
为直线
上任意一点，过
作
的垂线交曲线于点
，
．
（ⅰ）证明：
平分线段
（其中
为坐标原点）；
（ⅱ）求
最大值．
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