Question

已知f（x）是定义在（-3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）•cosx≤0的解集为

[-

π

2

，-1]∪[0，1]∪[

π

2

，3)

．

Answer 1

分析：先求出f（x）≥0的解集、f（x）≤0的解集，再求出在（-3，3）上cosx≥0的解集以及cosx≤0的解集，原不等式等价于①

-3＜x＜3 f(x)≥ 0 cosx ≤ 0

或②

-3＜x＜3 f(x) ≤ 0 cosx ≥ 0

．分别求出①、②的解集，再取并集即得所求．

解答：解：由奇函数f（x）的图象可得 f（x）≥0的解集为{x|1≤x＜3，或-1≤x≤0 }，
f（x）≤0的解集为 {x|0≤x≤1，或-3＜x≤-1 }．
在（-3，3）上，cosx≥0的解集为 {x|-

π

2

≤x≤

π

2

}，cosx≤0的解集为{x|-3＜x≤-

π

2

，或

π

2

≤x＜3}．
由不等式f（x）•cosx≤0 可得①

-3＜x＜3 f(x)≥ 0 cosx ≤ 0

或②

-3＜x＜3 f(x) ≤ 0 cosx ≥ 0

．
解①可得 {x|

π

2

≤x＜3}，解②得  {x|-

π

2

≤x≤-1，或 0≤x≤1}．
综上，原不等式的解集为 {x|

π

2

≤x＜3，-

π

2

≤x≤-1，或 0≤x≤1}．
故答案为 [-

π

2

，-1]∪[0，1]∪[

π

2

，3)．

点评：本题主要考查奇函数、余弦函数的图象和性质，三角不等式的解法，体现了数形结合与转化的数学思想，属于中档题