Question

（2012•广州二模）已知函数f（x）的定义域为（-1，1），且f(

1

2

)=1，对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，数列{a_n}满足a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

(n∈N*)．
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）求数列{f（a_n）}的通项公式；
（3）令An=

a1+a2+…+an

n

(n∈N*)，证明：当n≥2时，|

n

i=1

ai-

n

i=1

A1|＜

n-1

2

．

Answer 1

分析：（1）令x=y，则得f（0）=0，再令x=0，则得0-f（y）=f（-y），故函数f（x）是奇函数．
（2）令y=-x，可得f（x）=

1

2

•f（

2x

1+x2

），故有f（a_n）=

1

2

•f（

2an

1+ a 2 n

）=

1

2

f（a_n+1），故数列{f（a_n）}是公比等于2的等比数列，首项为  f（

1

2

）=1，由此求得f（a_n）的解析式．
（3）先求出a₂=

4

5

，易证n=2时，不等式成立，假设 |

k

i=1

ai-

k

i=1

A1|＜

k-1

2

，先证明数列{a_n}为增数列，
可得

1

2

＜a_n＜1，故有|a_i-a_k+1|＜

1

2

．用放缩法证明n=k+1时，不等式也成立，命题得证．

解答：解：（1）证明：∵f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)，任取x，y属于（-1，1）且x=y，则有f（x）-f（x）=f（0）=0．
令x=0，则 0-f（y）=f（-y），即 f（-y）=-f（y），
∴函数f（x）是奇函数．
（2）在f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)中，令y=-x，可得 f（x）-f（-x）=f（

2x

1+x2

），即 f（x）=

1

2

•f（

2x

1+x2

）．
∴f（a_n）=

1

2

•f（

2an

1+ a 2 n

）=

1

2

f（a_n+1），
故数列{f（a_n）}是公比等于2的等比数列，首项为  f（

1

2

）=1，
故f（a_n）=1×2^n-1=2^n-1．
（3）由a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

(n∈N*) 可得 a₂=

4

5

，
∵An=

a1+a2+…+an

n

(n∈N*)，
故当n=2时，|

n

i=1

ai-

n

i=1

Ai|=|a₁+a₂-a₁-

a1+a2

2

|=|

3

20

|＜

n-1

2

=

2-1

2

=

1

2

，故当n=2时，不等式成立．
假设当n=k时，不等式成立，即 |

k

i=1

ai-

k

i=1

A1|＜

k-1

2

，
则 |

k+1

i=1

ai-

k+1

i=1

AI|=|

k

i=1

ai-

k

i=1

AI+a_k+1-A_k+1|＜|

k

i=1

ai-

k

i=1

AI |+|a_k+1-A_k+1|
＜

k-1

2

+|

(a1-ak+1)+(a2-ak+1)+…+(ak-ak+1)

k+1

|．
由于a1=

1

2

，an+1=

2an

1+ a 2 n

＜1，故有a_n+1-a_n=

an-an3

1+ a 2 n

＞0，故数列{a_n}为增数列．
故当n≥2时，

1

2

＜a_n＜1，∴|a_i-a_k+1|＜

1

2

，i=1，2，3…k．
∴

k-1

2

+|

(a1-ak+1)+(a2-ak+1)+…+(ak-ak+1)

k+1

|
≤

k-1

2

+|

a1-ak+1

k+1

|+|

a2-ak+1

k+1

|+…+|

ak-ak+1

k+1

|=

k-1

2

+k×

1

2(k+1)

＜

k-1

2

+

1

2

=

k

2

．
故当n=k+1时，|

n

i=1

ai-

n

i=1

A1|＜

n-1

2

成立．
综上可得 |

n

i=1

ai-

n

i=1

A1|＜

n-1

2

成立．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，数列与不等式综合，利用数列的递推关系求通项公式，用数学归纳法和放缩法证明不等式，属于难题．