Question

14．已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比数列，数列{b_n}的前n项和为T_n，且T_n=2b_n-2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）记集合M={n|$\frac{{S}_{n}}{{b}_{n}}$≥λ，n∈N^*}，若集合M中有且仅有4个元素，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），利用a₁=2可知a₂=2+d、a₄=2+3d、a₈=2+7d，通过a₂，a₄，a₈成等比数列计算可知数列{a_n}是首项、公差均为2的等差数列，计算即得结论；
（2）通过T_n=2b_n-2与T_n-1=2b_n-1-2（n≥2）作差、整理得b_n=2b_n-1（n≥2），进而可知数列{b_n}是以首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；
（3）通过（1）、（2）可知集合M={n|n²+n-λ•2ⁿ≥0，n∈N^*}，分别计算出当n=1、2、3、4、5时λ的值，进而可得结论．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
∵a₁=2，
∴a₂=2+d，a₄=2+3d，a₈=2+7d，
又∵a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴（2+3d）²=（2+d）（2+7d），
解得：d=2或d=0（舍），
∴数列{a_n}是首项、公差均为2的等差数列，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n；
（2）∵T_n=2b_n-2，
∴T_n-1=2b_n-1-2（n≥2），
两式相减得：b_n=2b_n-2b_n-1，
整理得：b_n=2b_n-1（n≥2），
又∵T₁=2b₁-2，即b₁=2，
∴数列{b_n}是以首项、公比均为2的等比数列，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=2ⁿ；
（3）由（1）、（2）可知$\frac{{S}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$，
则集合M={n|$\frac{{S}_{n}}{{b}_{n}}$≥λ，n∈N^*}={n|$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$≥λ，n∈N^*}={n|n²+n-λ•2ⁿ≥0，n∈N^*}，
当n=1时，2-2λ≥0，解得λ≤1；
当n=2时，6-4λ≥0，解得λ≤$\frac{3}{2}$；
当n=3时，12-8λ≥0，解得λ≤$\frac{3}{2}$；
当n=4时，20-16λ≥0，解得λ≤$\frac{5}{4}$；
当n=5时，30-32λ≥0，解得λ≤$\frac{15}{16}$；
若当n≥6时，n²+n-λ•2ⁿ≥0恒成立，
则当n≥6时$\frac{{n}^{2}+n}{{2}^{n}}$≥$\frac{21}{32}$，即λ≤$\frac{21}{32}$，
又∵集合M中有且仅有4个元素，
∴$\frac{15}{16}$＜λ≤1，
故实数λ的取值范围是（$\frac{15}{16}$，1]．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．