Question

14．设a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1，则a³b²c的最大值为$\frac{1}{432}$．

Answer 1

分析 a+b+c=1=$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$b+c，利用基本不等式，即可求出a³b²c的最大值．

解答 解：a+b+c=1=$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{2}$b+$\frac{1}{2}$b+c≥6$\root{6}{\frac{1}{27}{a}^{3}•\frac{1}{4}{b}^{2}c}$，
∴a³b²c≤$\frac{1}{432}$，
当且仅当a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$，c=$\frac{1}{6}$时，a³b²c的最大值为$\frac{1}{432}$．
故答案为：$\frac{1}{432}$．

点评 本题考查求a³b²c的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确变形是关键．