Question

（2011•天津模拟）已知g（x）=mx+2，f(x)=x2-

3x2-4

x2

，若对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x2∈[1，

3

]，使得g（x₁）＞f（x₂），则m的取值范围是（　　）

• A．{0}
• B．(-

  1

  2

  ，1)
• C．(-

  1

  3

  ，

  2

  3

  )
• D．(

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：由f(x)=x2-

3x2-4

x2

=x2+

4

x2

-3≥2

x2• 4 x2

-3=1，知当且仅当x2=

4

x2

，即x=

2

时，f（x）取最小值1．再分m＞0，m＜0和m=0三种情况，求g（x）的最小值，并且保证g（x）的最小值大于1，由此能够求出m的取值范围．

解答：解：∵f(x)=x2-

3x2-4

x2

=x2+

4

x2

-3
≥2

x2• 4 x2

-3
=1．
当且仅当x2=

4

x2

，即x=

2

时，f（x）取最小值1．
当m＞0时，g（x）=mx+2是增函数，
对任意的x₁∈[-1，2]，g（x）_min=g（-1）=2-m．
由题设知2-m＞1，解得m＜1，
∴0＜m＜1．
当m＜0时，g（x）=mx+2是减函数，
对任意的x₁∈[-1，2]，g（x）_min=g（2）=2m+2．
由题设知2m+2＞1，解得m＞-

1

2

，
∴-

1

2

＜m＜0．
当m=0时，g（x）=2＞1，成立．
综上所述，m∈(-

1

2

，1)．
故选B．

点评：本题考查函数恒成立问题的应用，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．