Question

16．设方程x²+ax+b-2=0（a，b∈R）的两根分别在区间（-∞，-2]和[2，∞）上，则a²+b²的最小值是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 方程x²+ax+b-2=0（a，b∈R）的两根分别在区间（-∞，-2]和[2，∞）上，则$\left\{\begin{array}{l}2-2a+b≤0\\ 2+2a+b≤0\end{array}\right.$，画出可行域，并分析目标函数a²+b²的几何意义，可得答案．

解答 解：∵方程x²+ax+b-2=0（a，b∈R）的两根分别在区间（-∞，-2]和[2，∞）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}2-2a+b≤0\\ 2+2a+b≤0\end{array}\right.$，
满足条件的可行域如下图所示：

a²+b²表示可行域内点（a，b）到原点距离的平方，
故当a=0，b=2时，a²+b²的最小值是4，
故选：D

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，线性规划，是函数与线性规划的综合应用，难度中档．