Question

（2013•怀化三模）若某地区每年各个月份降水量发生周期变化．现用函数f（n）=100[Acos（ωn+

2

3

π）+m]近似地刻画．其中：正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1时表示1月份，A和m是正整数，ω＞0．统计发现，该地区每年各个月份降水量有以下规律：
①各年相同的月份，该地区降水量基本相同；
②该地区降水量最大的8月份和最小的12月份相差约400ml；
③2月份该地区降水量约为100ml，随后逐月递增直到8月份达到最大．
（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f（n）的表达式；
（2）一般地，当该地区降水量超过400 ml时，该地区进入了一年中的“汛季”，那么一年中的哪几个月是该地区的“汛季”？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三条规律，知该函数为周期为12的周期函数，进而求得ω，利用规律②可求得函数的最大值和最小值，则可求得三角函数解析式中的振幅A；同时根据n=2时，f（2）的值求得k，则函数的解析式可得．
（2）利用余弦函数的性质根据题意求得cos（

π

6

n+2）的范围，进而求得n的范围，根据n∈[1，12]，n∈N^*，即可求得n的值．

解答：解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．
由此可得，T=

2π

ω

=12⇒ω=

π

6

；
由规律②可知，f（n）_max=f（8）=100A+100k，f（n）_min
=f（2）=-100A+100k，f（8）-f（2）=200A=400⇒A=2；
又当n=2时，f（2）=200•cos（

π

6

•2+2）+100k=100，
所以，k≈2.99，由条件k是正整数，故取k=3．
综上可得，f（n）=200cos（

π

6

n+2）+300符合条件．
（2）由条件，200cos（

π

6

n+2）+300＞400，
可得cos（

π

6

n+2）＞

1

2

⇒2kπ-

π

3

＜

π

6

n+2＜2kπ+

π

3

，k∈Z⇒

6

π

（2kπ-

π

3

-2）＜n＜

6

π

（2kπ+

π

3

-2），
k∈Z⇒12k-2-

12

π

＜n＜12k+2-

12

π

，k∈Z．
因为n∈[1，12]，n∈N^*，所以当k=1时，6.18＜n＜10.18，
故n=7，8，9，10，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“汛季”．

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型的问题．从问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型是解题的关键．