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已知f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=-
1
f(x)
,则“f(x)为[-3,-1]上的减函数”是“f(x)为[4,7]上的增函数”的(  )
分析:根据偶函数的性质,根据等式f(x+2)=-
1
f(x)
,求出f(x)的周期,偶函数的图象是关于y轴对称,函数的单调性在x>0和x<0是相反的,从而进行判断;
解答:解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(-x)=f(x),
f(x+2)=-
1
f(x)
,可得f(x+4)=-
1
f(x+2)

∴f(x+4)=-
1
f(x+2)
=-
1
-
1
f(x)
=f(x),
∴函数的周期为T=4,
若“f(x)为[-3,-1]上的减函数,可得f(x)在[1,3]上是增函数,同理再加一个周期4,可得
f(x)在[4,7]上为增函数,
若“f(x)为[5,7]上的增函数,减去两个周期,
∴f(x)在[-3,-1]上为减函数,
∴“f(x)为[-3,-1]上的减函数”是“f(x)为[4,7]上的增函数的充要条件;
故选C;
点评:此题主要考查偶函数的性质及其单调性的应用,是一道基础题,考查的知识点比较全面;
练习册系列答案
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f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)证明函数a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函数;
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
对所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求实数x=1的取值范围.

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8、已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2009)=(  )

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已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=(  )

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已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,设a=f(log47),b=f(log
12
3)
,c=f(0.2-0.6),则a,b,c的大小关系
a>b>c
a>b>c

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