Question

5．已知向量$\overrightarrow m$=（sin$\frac{x}{4}$，cos$\frac{x}{4}$），$\overrightarrow n$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{4}$，cos$\frac{x}{4}$），记f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$．
（1）若f（x）=1，求cos（x+$\frac{π}{3}$）的值；
（2）若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求角B的大小及函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式，化简函数，结合f（x）=1，利用二倍角公式求cos（x+$\frac{π}{3}$）的值；
（2）先求出$B=\frac{π}{3}$，可得$0＜A＜\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}＜\frac{A}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}＜sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）＜1$，即可求出函数f（A）的取值范围．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}sin\frac{x}{4}•cos\frac{x}{4}+{cos^2}\frac{x}{4}$…（1分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{{1+cos\frac{x}{2}}}{2}$…2分
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$…（3分）
∵f（x）=1，
∴$sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=1$…（4分）
∴$cos（x+\frac{π}{3}）=1-2{sin^2}（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）=1-2×\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$．…（6分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC…（8分）
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），…（9分）
∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA且sinA≠0，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，
又B∈（0，π），∴$B=\frac{π}{3}$…（10分）
∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜\frac{A}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）＜1$；
又∵$f（x）=sin（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，∴$f（A）=sin（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$，
故函数f（A）的取值范围是$（1，\frac{3}{2}）$．…（12分）

点评 本题考查向量的数量积公式的运用，考查三角函数的化简，考查正弦定理，属于中档题．