Question

正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于2

2

，则它的外接球的表面积是（　　）

• A、16π
• B、64π
• C、

  16π

  3

• D、

  64π

  3

Answer 1

分析：先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解．

解答：解：如图，设正四棱锥底面的中心为O₁，设外接球的球心为O，
则O在正三棱锥的高PO上．
在直角三角形ABC中，AC=

2

AB=

2

×2

2

=4，
AO₁=2，则高PO₁=

AP2-A O 2 1

=

(2 2 )2-22

=

8-4

=

4

=2，
则OO₁=PO₁-R=2-R，OA=R，
在直角三角形AO₁O中，R²=（2-R）²+2²，
解得R=2．
即正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心O₁O，且球半径R=2，
球的表面积S=4πr²=16π
故选A．

点评：本题主要考查球的表面积，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．